O twitter vem liberando aos poucos a ferramenta de download de todos seus tweets. Mas nem todos os usuários ainda tem acesso. Para ter acesso imediato é necessário mudar o idioma para inglês, que a opção irá aparecer automaticamente. Veja como fazer isso.
Primeiro mude seu idioma para inglês acessando o menu de configurações do twitter.
Depois de mudar, vá até no final na mesma página de configuração e note que o novo botão irá aparecer. Clique neste botão Request your archive para que o arquivo seja gerado.
Aguarde até que um link para download seja lhe enviado por e-mail. Depois é só fazer o download.
Procure o arquivo que foi baixado e descompacte-o. Em seguida clique no arquivo index do mesmo para que ele seja aberto no navegador.
Com o arquivo aberto no navegador você pode escolher o tweets antigos mês a mês para serem lidos ou fazer uma pesquisa como no serviço original.